Integrale și Volume – Funcții Primitive și Rotație | f(x) = 1/√(x² + 1) | Subiectul III – Bac

00:00 – Introducere: Bacalaureat Subiectul III
02:00 – Funcția: f(x) = 1/√(x² + 1) pe domeniu [0, 1]
04:00 – Domeniu: f: [0, 1] → R
06:00 – Punctul a): Demonstrați că f admite primitive
08:00 – Definiție: f admite primitive dacă F'(x) = f(x) pentru o funcție F
10:00 – Continuitate: f e continuă pe [0, 1] (domeniu compact)
12:00 – Teoremă: Orice funcție continuă admite primitive
14:00 – Concluzie: f admite primitive
16:00 – Demonstrați că orice primitivă e strict crescătoare
18:00 – Fie F o primitivă: F'(x) = f(x)
20:00 – Observație: f(x) = 1/√(x² + 1) mai mare decât 0 pentru orice x
22:00 – Deoarece √(x² + 1) mai mic decât 0 pentru orice x real
24:00 – Rezultă: F'(x) mai mare decât 0 pe [0, 1]
26:00 – Concluzie: F e strict crescătoare pe [0, 1]
28:00 – Punctul b): Calculați integrala de la 0 la 1 din x * f(x) dx
30:00 – Adică: ∫₀¹ x / √(x² + 1) dx
32:00 – Substituție: u = x² + 1, du = 2x dx
34:00 – Schimbare limite: x = 0 → u = 1, x = 1 → u = 2
36:00 – Integrala devine: (1/2) ∫₁² u^(-1/2) du
38:00 – Calcul: (1/2) * 2 * √u |₁²
40:00 – = √u |₁² = √2 – √1 = √2 – 1
42:00 – Rezultat: ∫₀¹ x * f(x) dx = √2 – 1
44:00 – Punctul c): Volum corpului de rotație în jurul axei Ox
46:00 – Formula: V = π ∫₀¹ [f(x)]² dx
48:00 – V = π ∫₀¹ 1/(x² + 1) dx
50:00 – Antiderivată: arctg(x)
52:00 – V = π [arctg(x)]₀¹ = π (arctg(1) – arctg(0))
54:00 – V = π (π/4 – 0) = π²/4

www.profulonline.ro

#Bacalaureat #Integrale #Volume #Rotatie #Primitive #CalculIntegral #AnalizaMatematica
#SubiectulIII #ProblemeRezolvate #Matematica #Derivate #Continuitate #ProfulOnline